数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

——克莱因

11月29日上午，鼎一学校全体老师们再次齐聚南门校区，一起聆听数学曾老师带来的内容分享——数学史上的三大危机。

第一次数学危机——公元前470年无理数的出现

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的。可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了。这应该是多么违反常识，多么荒谬的事。它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

1872年，德国数学家戴德金才以有理数分割的理论结束了第一次数学危机，无理数正式纳入了数学体系当中，此时距离希帕索斯殉难已经过了2300多年了。

第二次数学危机——17~18世纪无穷小是什么

第二次数学危机萌芽于古希腊，最著名的描述是“芝诺的乌龟”这个时候，一个著名的悖论，芝诺悖论就出现了。

话说有一只乌龟和你赛跑，你的速度是乌龟的十倍。由于乌龟跑得很慢，公平起见，让乌龟在你前方10米的地方开始跑。如此一来，当你跑10米的时候，正好跑到乌龟之前的出发点，这时候乌龟跑1米。而当你跑1米的时候，乌龟跑了0.1米。如此这样下去，你永远在乌龟后面，因为你到达的地点一直都在乌龟之前到达的地点。但是我们都知道结果不是那样的，你很快就会超过乌龟。为何会出现如此大相径庭的结果？  

芝诺的乌龟与二分法，芝诺悖论让人们不得不重新思考无穷的概念把一段线段进行无限分割势必需要无穷多的时间，但是我们的时间并不是无限的，而是有限的，也就不可能在有限的时间里做无穷多的事情，如此一来就不会陷入总是追赶乌龟跑过的路程。

十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具被牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

经过柯西（微积分收官人）用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽。

第三次数学危机——1897年集合论中的悖论

1897年，数学家福尔蒂提出这样一个悖论：假如有这样一位理发师，他给自己定下了一个规矩：他只给不给自己刮胡子的人刮胡子，那么他应不应该给自己刮胡子呢？

如果他不给自己刮胡子，那么他就是不给自己刮胡子的人，他应该给自己刮胡子，而如果他给自己刮胡子了，他就是给自己刮胡子的人，那么他就不能给自己刮胡子。

虽然在我们看来，这个悖论就是吃饱了撑的，但问题在于，这个悖论是满足集合论的原理的，而且集合论现在已经深入到了数学的各个方面，如果这个悖论不解决，集合论就是有漏洞的。

1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。罗素悖论非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。

遗憾的是，至今为止，第三次数学危机也没有得到完美的解决，1931年，数学家哥德尔提出了不完备定理。该定理无论是在数学史上，还是在逻辑学发展史上都是一个里程碑。哥德尔不完备性定理的内容是：包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完备的。具体地讲，包括算术在内的任何一个形式系统L，如果L是协调的，那么在L内总存在不能判定的逻辑命题，即L中存在逻辑公式A与非A，在L内不能证明它们的真假，证明了数学本身在理论上就是不完备的，所以数学的发展远没有结束。

西蒙斯说：数学的严密性如同衣服。其式样应该适时，无论是太松或是太紧，它都将使得活动起来不太舒适，也不太方便。而科学就是这样在一次次否定中建立起来，在一次次否定中发展前行！

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